W roku 1938 ukończył Szkołę Podchorążych Lotnictwa w Dęblinie i rozpoczął służbę w 111. eskadrze myśliwskiej. Ranny w wypadku wiosną 1939 roku, musiał się poddać dłuższemu leczeniu. Po agresji Niemiec na Polskę miał problemy z przedostaniem się do swojej formacji, a po napaści ZSSR, przez Rumunię i Bejrut dotarł do Francji.
Na miejscu, po przejściu przez Centrum Wyszkolenia Lotnictwa Polskiego w bazie Lyon-Bron, został podwładnym mjr Zdzisława Krasnodębskiego, przyszłego dowódcy polskiego dywizjonu myśliwskiego 303. Polscy piloci początkowo bronili lotnisk w Chateaudun i Etampes, jako część francuskiego dywizjonu GCD I/55. Latem 1940 roku Zumbach ewakuował się na statku "Kmicic" do Wielkiej Brytanii, gdzie w Northolt otrzymał przydział do Dywizjonu 303. Polscy piloci wzięli udział w ostatnim etapie bitwy o Anglię, a Zumbach sam zestrzelił kilka samolotów nieprzyjaciela.
Parokrotnie odznaczony, otrzymał nominację na stopień kapitana i został najpierw szefem jednej z eskadr Dywizjonu 303, a w maju 1942 roku - dowódcą całej formacji. Po kolejnym awansie, w kwietniu 1943 roku, powierzono mu funkcję dowódcy 3. Polskiego Skrzydła Myśliwskiego, został również absolwentem Wyższej Szkoły Lotniczej. Od połowy 1944 do stycznia 1945 roku był szefem 133. Polskiego Skrzydła Myśliwskiego, następnie trafił do 84. Grupy Myśliwskiej. Po krótkim pobycie w niewoli, w październiku 1946 roku, opuścił szeregi armii i osiedlił się w Szwajcarii.
Po zakończeniu II wojny Zumbach wiódł niespokojne życie. Współprowadził firmę lotniczo-taksówkarską, później jako Johnny "Kamikaze" Brown uczestniczył w walkach w Afryce. W roku 1962 podjął się utworzenia sił powietrznych Katangi i dowodził bombardowaniami sił rządowych Konga, a po pokonaniu lotnictwa Katangi przez kontyngent szwedzkiego ONZ, uciekł do Angoli. W 1967 roku znów przybył na Czarny Kontynent i został szefem sił lotniczych Biafry, sam również biorąc udział w nalotach podczas konfliktu z rządowymi oddziałami Nigerii. Jednak także ta misji zakończyła się niepowodzeniem.
Jan Zumbach zmarł 3 stycznia 1986 we Francji. Spoczywa na stołecznych Powązkach.